Субфакториал

Про факториал знают все студенты. Даже анекдот есть про громко произнесенное \(n!\), поскольку оно с восклицательным знаком. В комбинаторике число \(n!\) определяет число перестановок - число вариантов расставить \(n\) объектов на \(n\) мест. Некоторым студентам даже знакома запись \(n!!\). А вот про субфакториал редко кто слышал. И записывается это так \(!n\) - восклицательный знак впереди, а не после числа. Это и есть субфакториал. Вычисляется субфакториал по формуле: \[!n=n!\left(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-...+\left(-1\right)^{n}\frac{1}{n!}\right)\] Теперь осталось узнать для чего эта формула используется. В комбинаторике есть такая задача, которую называют задачей о беспорядках. Формулировки этой задачи могут быть разными, но суть такова.

Есть \(n\) объектов и для них зарезервированы именные места. Надо посчитать число вариантов, когда ни один из объектов не попадет на свое место.