Найти градиент, дивергенцию, ротор

В области \(V\) задано скалярное поле, если каждой точке \(M\) из \(V\) поставлено в соответствие число \(u\left(M \right)\). Скалярное поле \(u\left(M \right)\) называется дифференцируемым в точке \(M_{0}\) из области \(V\), если приращение поля \(\Delta u\) в этой точке можно представить в виде: \(\Delta u=g\cdot \Delta r+o\left(\rho \right)\), где \(\rho =\rho \left(M_{0},M \right)\) - расстояние между точками \(M_{0}\) и \(M\), \(\Delta u=u\left(M \right)-u\left(M_{0} \right)\). Вектор \(g\left(M_{0} \right)\) называется градиентом дифференцируемого в точке \(M_{0}\) скалярного поля. В декартовой системе координат \[grad u=\frac{\partial u}{\partial x}i+\frac{\partial u}{\partial y}j+\frac{\partial u}{\partial z}k\] Если каждой точке \(M\) из области \(V\) поставлен в соответствие некоторый вектор \(F\left(M \right)\), то говорят, что в \(V\) задано векторное поле. Дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность достаточно малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля. Оператор дивергенции, примененный к полю \(F\), обозначается \(divF\) или \(\bigtriangledown \cdot F\). \[div F=\lim_{V\rightarrow 0}\frac{P_{F}}{V}\] где \(P_{F}\)-поток векторного поля \(F\) через сферическую поверхность площадью \(S\), ограничивающую объем \(V\). Ротор — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Обозначается \(rot\) или \(curl\), вычисляется по формуле \(rot F = \bigtriangledown \times F\).

---

С помощью нашего решебника вы можете вычислить градиент, дивергенцию, ротор векторного поля, выполнить другие операции векторного анализа. Ниже приведены примеры команд. Скопируйте и вставьте в строку решателя или просто наберите ваш пример а затем нажмите кнопку "Решить".

---

Вычислить градиент функции

grad sin(x^2 y)

del z e^(x^2+y^2)

grad of a scalar field

Вычислить градиент функции в полярных координатах

grad sqrt(r) cos(theta)

Вычислить дивергенцию векторного поля

div (x^2-y^2, 2xy)

div [x^2 sin y, y^2 sin xz, xy sin (cos z)]

divergence calculator

Вычислить ротор векторного поля

curl [-y/(x^2+y^2), -x/(x^2+y^2), z]

rotor operator

Вычислить Лапласиан функции

Laplace e^x sin y

Laplace x^2+y^2+z^2

laplacian calculator

Вычислить выражения

div (grad f)

curl (curl F)

grad (F . G)

Если вам наших примеров мало, то читайте больше о новых возможностях WoframAlpha, позволяющей решать задачи онлайн в реальном времени.