Операции с перестановками
Каждая последовательность \(k\) различных объектов с учетом порядка, называется перестановкой. Число всех перестановок из \(k\) различных элементов вычисляется по формуле: \[P_{k}=k!\] Перестановки часто используются в теории вероятности.
Пример. На полку, случайным образом, ставят по одной книге четырехтомника Пушкина. Какова вероятность того, что книги будут стоять последовательно?
Решение. Пусть \(A\) - событие, состоящее в том, что книги расположены по порядку. Число всех возможных вариантов определяется числом перестановок из четырех книг: \(P_{4}=4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24\). Т.е. число всевозможных исходов \(n=24\). Число благоприятных исходов равно двум \(\left(m=2\right)\), т.к. возможно возрастание и убывание номеров. Таким образом, вероятность того, что книги будут стоять последовательно, равна \[P\left(A\right)=\frac{m}{n}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}.\]
Упорядоченный набор из \(k\) элементов, при условии повторения элементов в наборе, называется перестановкой с повторением. Число перестановок с повторениями вычисляется по формуле: \[C_{k}\left(i_{1},i_{2},...,i_{p}\right)=\frac{k!}{i_{1}!,i_{2}!,...,i_{p}!},\] где \[\sum_\left(j=1\right) ^p i_{j}=k.\] Число \(k\) указывает количество элементов в наборе, а \(i_{j}\) указывает сколько раз повторяется некий элемент в наборе.
Пример. Свидетель запомнил, что четырехзначный номер машины содержит две тройки, четверку и пятерку. В первый день следствия нашли одну машину с таким номером. Какова вероятность, что в первый день обнаружена искомая машина?
Решение. Пусть \(A\) - событие, состоящее в том, что найдена нужная машина. Число благоприятных исходов \(m=1\). Число всевозможных исходов вычисляем по формуле: \[n=C_{4}\left(2,1,1\right)=\frac{4!}{2!\cdot1!\cdot1!}=\frac{24}{2}=12.\] Таким образом, вероятность, что в первый день обнаружена искомая машина, равна \[P\left(A\right)=\frac{m}{n} = \frac{1}{12}.\]
Случайной перестановкой называется случайный вектор \(\xi = \left(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{n}\right),\) все элементы которого принимают натуральные значения от 1 до \(n\) , и при этом вероятность совпадения любых двух элементов равна 0.
С помощью нашего решебника вы можете вычислить различные перестановки, сгенерировать случайную перестановку. Ниже приведены примеры команд. Скопируйте и вставьте в строку решателя или просто наберите ваш пример а затем нажмите кнопку "Решить".
Вычислить перестановку
Пример. На полку, случайным образом, ставят по одной книге четырехтомника Пушкина. Какова вероятность того, что книги будут стоять последовательно?
Решение. Пусть \(A\) - событие, состоящее в том, что книги расположены по порядку. Число всех возможных вариантов определяется числом перестановок из четырех книг: \(P_{4}=4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24\). Т.е. число всевозможных исходов \(n=24\). Число благоприятных исходов равно двум \(\left(m=2\right)\), т.к. возможно возрастание и убывание номеров. Таким образом, вероятность того, что книги будут стоять последовательно, равна \[P\left(A\right)=\frac{m}{n}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}.\]
Упорядоченный набор из \(k\) элементов, при условии повторения элементов в наборе, называется перестановкой с повторением. Число перестановок с повторениями вычисляется по формуле: \[C_{k}\left(i_{1},i_{2},...,i_{p}\right)=\frac{k!}{i_{1}!,i_{2}!,...,i_{p}!},\] где \[\sum_\left(j=1\right) ^p i_{j}=k.\] Число \(k\) указывает количество элементов в наборе, а \(i_{j}\) указывает сколько раз повторяется некий элемент в наборе.
Пример. Свидетель запомнил, что четырехзначный номер машины содержит две тройки, четверку и пятерку. В первый день следствия нашли одну машину с таким номером. Какова вероятность, что в первый день обнаружена искомая машина?
Решение. Пусть \(A\) - событие, состоящее в том, что найдена нужная машина. Число благоприятных исходов \(m=1\). Число всевозможных исходов вычисляем по формуле: \[n=C_{4}\left(2,1,1\right)=\frac{4!}{2!\cdot1!\cdot1!}=\frac{24}{2}=12.\] Таким образом, вероятность, что в первый день обнаружена искомая машина, равна \[P\left(A\right)=\frac{m}{n} = \frac{1}{12}.\]
Случайной перестановкой называется случайный вектор \(\xi = \left(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{n}\right),\) все элементы которого принимают натуральные значения от 1 до \(n\) , и при этом вероятность совпадения любых двух элементов равна 0.
С помощью нашего решебника вы можете вычислить различные перестановки, сгенерировать случайную перестановку. Ниже приведены примеры команд. Скопируйте и вставьте в строку решателя или просто наберите ваш пример а затем нажмите кнопку "Решить".
Вычислить перестановку
number of permutations of 23 elementsВывести перестановки указанного набора
permutations of {a, b, c, d}
Вычислить перестановку с повторением
distinct permutations of {1, 2, 2, 3, 3, 3}
Сгенерировать случайную перестановку
random permutation on 15 elements
Похожие публикации: