Решение дифуравнений
Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.
Если искомая функция зависит от одной переменной, то соответствующее дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то соответствующее дифференциальное уравнение называется уравнением с частными производными.
Обыкновенное дифференциальное уравнение \(n\)-го порядка в общем виде записывается так:\[F\left(x,y,y',y'',...,y^{\left(n\right)}\right)=0,\]
где \(x\) - независимая переменная; \(y=y\left(x\right)\) - искомая функция переменной \(x\); \(y',y'',y''',...,y^{\left(n\right)}\) - ее производные; \(F\left(x,y,y',y'',...,y^{\left(n\right)}\right)\) - заданная функция своих аргументов.
Функция \(y=y\left(x\right)\), определенная и непрерывно дифференцируемая \(n\) раз в интервале \(\left(a,b\right)\), называется решением дифференциального уравнения в этом интервале, если она обращает данное уравнение в тождество, т.е. для всех \(x\in\left(a,b\right)\)\[F\left(x,y\left(x\right),y'\left(x\right),...,y^{\left(n\right)}\left(x\right)\right)=0.\]
Линейным дифференциальным уравнением \(n\)-го порядка называется уравнение\[y^{\left(n\right)}+a_{1}y^{\left(n-1\right)}+...+a_{n}y=f\left(x\right),\]
где коэффициенты \(a_{1},a_{2},...,a_{n}\) - функции от \(x\) или постоянные.
Если \(f\left(x\right)\neq0\), то уравнение называется неоднородным; если \(f\left(x\right)=0\), то уравнение называется однородным.
Если функции \(y_{1}=y_{1}\left(x\right),\)\(y_{2}=y_{2}\left(x\right),...,\)\(y_{n}=y_{n}\left(x\right)\) являются линейно независимыми решениями однородного уравнения, то его общее решение записывается формулой\[y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}+...+C_{n}y_{n},\]
где \(C_{1},C_{2},...,C_{n}\) - произвольные постоянные.
С помощью нашего решебника вы можете решать линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Ниже приведены примеры команд. Скопируйте и вставьте в строку решателя или просто наберите ваш пример а затем нажмите кнопку Решить.
Решить линейное обыкновенное дифференциальное уравнение
Если искомая функция зависит от одной переменной, то соответствующее дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то соответствующее дифференциальное уравнение называется уравнением с частными производными.
Обыкновенное дифференциальное уравнение \(n\)-го порядка в общем виде записывается так:
Функция \(y=y\left(x\right)\), определенная и непрерывно дифференцируемая \(n\) раз в интервале \(\left(a,b\right)\), называется решением дифференциального уравнения в этом интервале, если она обращает данное уравнение в тождество, т.е. для всех \(x\in\left(a,b\right)\)
Линейным дифференциальным уравнением \(n\)-го порядка называется уравнение
Если \(f\left(x\right)\neq0\), то уравнение называется неоднородным; если \(f\left(x\right)=0\), то уравнение называется однородным.
Если функции \(y_{1}=y_{1}\left(x\right),\)\(y_{2}=y_{2}\left(x\right),...,\)\(y_{n}=y_{n}\left(x\right)\) являются линейно независимыми решениями однородного уравнения, то его общее решение записывается формулой
С помощью нашего решебника вы можете решать линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Ниже приведены примеры команд. Скопируйте и вставьте в строку решателя или просто наберите ваш пример а затем нажмите кнопку Решить.
Решить линейное обыкновенное дифференциальное уравнение
y'' + y = 0
w"(x)+w'(x)+w(x)=0Решить линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с начальными условиями
y'' + y = 0, y(0)=2, y'(0)=1Решить неоднородное уравнение
y''(t) + y(t) = sin t
x^2 y''' - 2 y' = xРешить уравнение, содержащее параметр
y'(t) = a t y(t)Решить нелинейное уравнение
f'(t) = f(t)^2 + 1
y"(z) + sin(y(z)) = 0
Похожие публикации: