Определители второго и третьего порядков
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц.
Определение. Определитель второго порядка матрицы \({A_{{\text{ }}2 \times 2}}\) определяется равенством: $$\left| {A{\text{ }}} \right| = {\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = {a_{11}}{a_{22}} - {a_{21}}{a_{12}}$$
Пример. \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1} \\ 2&{{\text{ }}4} \end{array}} \right| = 3 \cdot 4 - ( - 1) \cdot 2 = 14.\)
Определение. Определитель третьего порядка матрицы \({A_{{\text{ }}3 \times 3}}\) определяется равенством: $$\begin{gathered} \left| {A{\text{ }}} \right| = {\Delta _3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right| = {a_{11}}{a_{22}}{a_{33}} + {a_{21}}{a_{32}}{a_{13}} + {a_{12}}{a_{23}}{a_{31}} \\ {\text{ }} - {a_{31}}{a_{22}}{a_{13}} - {a_{32}}{a_{23}}{a_{11}} - {a_{21}}{a_{12}}{a_{33}}{\text{ }}. \\ \end{gathered} $$
При вычислении определителей третьего порядка обычно пользуются правилом треугольников, схематическая запись которого приведена ниже:
Пример. \({\Delta _3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\text{1}}&{{\text{ 4}}}&{{\text{ 6}}} \\ {\text{2}}&{ - {\text{1}}}&{ - {\text{7}}} \\ {\text{3}}&{{\text{ 5}}}&{ - {\text{2}}} \end{array}} \right| = 2 + 60 - 84 + 18 + 35 + 16 = 47\).
Определение. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного вычеркиванием той строки и того столбца, в которых этот элемент расположен.
Определение. Алгебраическим дополнением данного элемента определителя называется его минор, умноженный на \({( - 1)^s}\), где \(s\) - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Определение. Определитель второго порядка матрицы \({A_{{\text{ }}2 \times 2}}\) определяется равенством: $$\left| {A{\text{ }}} \right| = {\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = {a_{11}}{a_{22}} - {a_{21}}{a_{12}}$$
Пример. \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1} \\ 2&{{\text{ }}4} \end{array}} \right| = 3 \cdot 4 - ( - 1) \cdot 2 = 14.\)
Определение. Определитель третьего порядка матрицы \({A_{{\text{ }}3 \times 3}}\) определяется равенством: $$\begin{gathered} \left| {A{\text{ }}} \right| = {\Delta _3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right| = {a_{11}}{a_{22}}{a_{33}} + {a_{21}}{a_{32}}{a_{13}} + {a_{12}}{a_{23}}{a_{31}} \\ {\text{ }} - {a_{31}}{a_{22}}{a_{13}} - {a_{32}}{a_{23}}{a_{11}} - {a_{21}}{a_{12}}{a_{33}}{\text{ }}. \\ \end{gathered} $$
При вычислении определителей третьего порядка обычно пользуются правилом треугольников, схематическая запись которого приведена ниже:
Пример. \({\Delta _3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\text{1}}&{{\text{ 4}}}&{{\text{ 6}}} \\ {\text{2}}&{ - {\text{1}}}&{ - {\text{7}}} \\ {\text{3}}&{{\text{ 5}}}&{ - {\text{2}}} \end{array}} \right| = 2 + 60 - 84 + 18 + 35 + 16 = 47\).
Определение. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного вычеркиванием той строки и того столбца, в которых этот элемент расположен.
Определение. Алгебраическим дополнением данного элемента определителя называется его минор, умноженный на \({( - 1)^s}\), где \(s\) - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Похожие публикации: