Найти кривизну линии

Рассмотрим плоскую линию, которая определяется уравнением \(y=f\left(x \right)\). Касательная, проведенная к этой линии в ее точке \(M_{0}\left(x_{0},y_{0} \right)\) , образует с осью \(OX\) угол \(\alpha\). Касательная, проведенная к этой линии в другой ее точке \(M\), образует с осью \(OX\) угол \(\alpha +\bigtriangleup \alpha\), т.е. при переходе из точки \(M_{0}\) в точку \(M\) данной линии, касательная к ней повернулась на угол \(\bigtriangleup \alpha\). Угол \(\bigtriangleup \alpha\) между касательными в указанных точках называется углом смежности. Средней кривизной дуги \(M_{0} M\) данной линии называется абсолютное значение отношения угла смежности \(\bigtriangleup \alpha\) к длине \(\bigtriangleup l\) дуги \(M_{0} M\): \[k_{cp}=\left|\frac{\bigtriangleup \alpha }{\bigtriangleup l} \right|.\] Кривизной линии в данной точке \(M_{0}\) называется предел средней кривизны дуги \(M_{0} M\) при \(M\rightarrow M_{0}\): \[k=\lim_{M\rightarrow M_{0}}\left|\frac{\bigtriangleup \alpha }{\bigtriangleup l} \right|.\] Кривизна линии заданной уравнением \(y=f\left(x \right)\) в точке \(M_{0}\left(x_{0},y_{0} \right)\) вычисляется по формуле: \[k=\frac{\left|y''\left(x_{0} \right) \right|}{\left(1+\left(y'\left(x_{0} \right) \right) ^{2} \right)^{3/2}} .\] Если линия задана параметрическим уравнением \(x=x\left(t \right), y=y\left(t \right)\), то кривизна вычисляется по формуле: \[k=\frac{\left|x'y''-x''y' \right|}{\left(x'^{2}+y'^{2} \right)^{3/2}}.\] Кривизна линии, заданной уравнением \(\rho =\rho \left(\varphi \right)\) в полярных координатах вычисляется по формуле: \[k=\frac{\left|\rho ^{2}+2\rho '^{2}-\rho \rho '' \right|}{\left(\rho '^{2}+\rho ^{2} \right)^{3/2}} .\] Радиусом кривизны линии в ее точке называется величина \(R\), обратная кривизне \(k\) этой линии в рассматриваемой точке: \(R=1/k\). Координаты центра кривизны определяются по формулам: \[X=x-\frac{y'\left(1+y'^{2} \right)}{y''}; Y=y+\frac{\left(1+y'^{2} \right)}{y''}.\]

---

С помощью нашего решебника вы можете вычислить кривизну дуги кривой и центр кривизны кривой. Ниже приведены примеры команд. Скопируйте и вставьте в строку решателя или просто наберите ваш пример а затем нажмите кнопку "Решить".

---

Вычислить кривизну плоской линии в точке

curvature of y=x^2 at x=0.2

Определить кривизну кривой в полярной форме

curvature of the polar curve r=t^3+2 near t=1/10

Вычислить кривизну пространственной линии

what is the curvature of (s, sin s, cos s) at s=2

Вычислить кривизну в многомерном случае

curvature of {x(t)=t, y(t)=t^4, z(t)=t^2, w(t)=t} at t=1

Определить кривизну кривой в произвольной точке

curvature of sin(x)

Вычислить соприкасающуюся окружность

osculating circle to (2cos[t], sin[t]) at t=pi/3

Вычислить центр кривизны

center of curvature of y=e^(-x^2) at x=0