★ Рубрика: Математика

Фигуры Лиссажу

Для тех, кто еще до сих пор не знает что такое фигуры Лиссажу, сообщаем: "Фигу́ры Лиссажу́ — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу."

Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или \(\pi\) вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз \(\pi/2\) и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний неточно совпадают, то разность фаз всё время меняется, вследствие чего эллипс всё время деформируется. При существенно различных периодах фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение — получаются фигуры Лиссажу более сложной формы. Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний. Ну, а тем кому интересно, как реализована анимация - смотрите и изучайте код svg-файла в комбинации с javascript:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.0//EN" "http://www.w3.org/TR/SVG/DTD/svg10.dtd" >
<svg
 xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg"
 xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"
 version="1.1"
 width="400"
 height="450"
 xml:space="preserve"
 onload = "startup(evt)">

<script>

<![CDATA[

var curve;
var equation;
var alpha = 1;
var beta = 2;
var phi = 0.;

var dphi = Math.PI/120.;

function startup(evt)
{
 curve = document.getElementById("curve");
 equation = document.getElementById("equationText");
 modifyColor();
 setInterval("Animate()", 2);
}

function Lissajou(a, b, phi)
{
 var dt = Math.PI/200;
 var str = "M"; 
 for (var t=0.; t <= 2*Math.PI; t += dt) {
 str += (200. + 100.*Math.sin(a*t)) + " "
 + (150. + 100.*Math.cos(b*t + phi)) + " ";
 }
 curve.setAttributeNS(null,"d", str);
}

function Animate()
{
 Lissajou(alpha, beta, phi);
 phi += dphi; 
 phi %= 2.0*Math.PI;
 if(phi > 2.0*Math.PI - dphi && phi < 2.0*Math.PI + dphi) { 
 if(alpha==11) {
 if(beta==11) {
 alpha=1;
 beta=2;
 }
 else {
 alpha=1;
 beta++
 }
 }
 else {
 alpha++;
 }
 modifyColor();
 }
 modifyEquation(); 
}

function modifyEquation()
{
 var phi_new = phi/Math.PI;
 var s = "f(t)=sin(" + parseInt(alpha)+"t) + cos("+parseInt(beta)+"t + " + parseFloat(phi_new).toFixed(1)+" pi)";
 equation.firstChild.nodeValue = s;
}

function modifyColor()
{
 curve.setAttributeNS(null,"stroke",color()); 
}

function color(){
 var r=Math.random()*(16777215);
 return "#"+Math.floor(r).toString(16);
}

]]>

</script> 

<g>
 <path id="curve" stroke-width="3" stroke="blue" fill="none" /> 
 <text id="titleText" x="110" y="330" font-size="20" fill="blue">
 <tspan font-family="cursive">Кривые Лиссажу</tspan></text>
 <text id="equationText" x="80" y="380" font-size="20" fill="black">
 f(t)=sin(at)+cos(bt+phi)</text>
</g>

</svg>

Похожие публикации: графика, SVG

Войти и комментировать [ Вход | Регистрация ]