Вычислить предел заданной функции
Задача 1. Вычислить предел заданной функции.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{{{({x^2} + 2x - 3)}^2}}}{{{x^3} + 4{x^2} + 3x}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{{{(x - 1)}^2}{{(x + 3)}^2}}}{{x(x + 1)(x + 3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{{{(x - 1)}^2}(x + 3)}}{{x(x + 1)}} = 0.\]
Задача 2. Вычислить предел заданной функции.
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{{\sqrt[4]{x} - 2}}{{\sqrt x - 4}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{{(\sqrt[4]{x} - 2)(\sqrt[4]{x} + 2)}}{{(\sqrt x - 4)(\sqrt[4]{x} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{{\sqrt x - 4}}{{(\sqrt x - 4)(\sqrt[4]{x} + 2)}} = \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{1}{{\sqrt[4]{x} + 2}} = \frac{1}{4}.\end{array}\]
Задача 3. Вычислить предел заданной функции.
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 - 3x)}}{{\sqrt {8x + 4} - 2}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 - 3x)}}{{\sqrt {2x + 1} - 1}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{ - 3}}{{1 - 3x}}}}{{\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}}} = \\ = - \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3\sqrt {2x + 1} }}{{1 - 3x}} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = - \frac{3}{2}.\end{array}\]
Задача 4. Вычислить предел заданной функции.
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{\ln x}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \left| \begin{array}{l}x - 1 = y\\y \to 0\end{array} \right| = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{{{(y + 1)}^2} - 1}}{{\ln (y + 1)}} = \\\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{{y^2} + 2y}}{y} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} (y + 2) = 2.\end{array}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{{{({x^2} + 2x - 3)}^2}}}{{{x^3} + 4{x^2} + 3x}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{{{(x - 1)}^2}{{(x + 3)}^2}}}{{x(x + 1)(x + 3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{{{(x - 1)}^2}(x + 3)}}{{x(x + 1)}} = 0.\]
Задача 2. Вычислить предел заданной функции.
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{{\sqrt[4]{x} - 2}}{{\sqrt x - 4}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{{(\sqrt[4]{x} - 2)(\sqrt[4]{x} + 2)}}{{(\sqrt x - 4)(\sqrt[4]{x} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{{\sqrt x - 4}}{{(\sqrt x - 4)(\sqrt[4]{x} + 2)}} = \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{1}{{\sqrt[4]{x} + 2}} = \frac{1}{4}.\end{array}\]
Задача 3. Вычислить предел заданной функции.
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 - 3x)}}{{\sqrt {8x + 4} - 2}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 - 3x)}}{{\sqrt {2x + 1} - 1}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{ - 3}}{{1 - 3x}}}}{{\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}}} = \\ = - \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3\sqrt {2x + 1} }}{{1 - 3x}} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = - \frac{3}{2}.\end{array}\]
Задача 4. Вычислить предел заданной функции.
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{\ln x}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \left| \begin{array}{l}x - 1 = y\\y \to 0\end{array} \right| = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{{{(y + 1)}^2} - 1}}{{\ln (y + 1)}} = \\\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{{y^2} + 2y}}{y} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} (y + 2) = 2.\end{array}\]
Похожие публикации: