Как найти ранг матрицы
Задача. Найти ранг матрицы \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right)\).
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{23}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\)
Вычисляем поочередно определители. Если встретится определитель отличный от нуля, то ранг \(r = 3\). Если все определители третьего порядка (миноры) окажутся нулевыми, то рассмотрим миноры второго порядка, получаемые вычеркиванием двух столбцов и одной строки:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{23}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{22}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{23}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{23}}}&{{a_{24}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{22}}}&{{a_{24}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{22}}}&{{a_{23}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{24}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{23}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right|\).
На практике, часто удается сразу (не перебирая все) выбрать один минор отличный от нуля. Тогда ранг \(r = 2\). Если же все миноры второго порядка окажутся нулевыми, то рассматривают все миноры первого порядка – элементы исходной матрицы. Достаточно найти ненулевой элемент и сделать вывод, что ранг \(r = 1\).
Ответ. Возможен один из трех вариантов ответа : \(r = 3\), \(r = 2\), \(r = 1\).
Решение. Вычеркивая строки и столбцы в прямоугольной матрице, можно получить квадратную матрицу. Определитель такой матрицы – минор исходной матрицы. Наибольший порядок \(r\) минора матрицы не равного нулю – ранг матрицы. Нахождения ранга - поиск наибольшей квадратной матрицы с не нулевым определителем, получаемой из исходной вычеркиванием столбцов и строк. Алгоритм решения. Рассмотрим все миноры третьего порядка, вычеркивая по одному столбцу в исходной матрице:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{23}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\)
Вычисляем поочередно определители. Если встретится определитель отличный от нуля, то ранг \(r = 3\). Если все определители третьего порядка (миноры) окажутся нулевыми, то рассмотрим миноры второго порядка, получаемые вычеркиванием двух столбцов и одной строки:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{23}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{22}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{23}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{23}}}&{{a_{24}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{22}}}&{{a_{24}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{22}}}&{{a_{23}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{24}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{23}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right|\).
На практике, часто удается сразу (не перебирая все) выбрать один минор отличный от нуля. Тогда ранг \(r = 2\). Если же все миноры второго порядка окажутся нулевыми, то рассматривают все миноры первого порядка – элементы исходной матрицы. Достаточно найти ненулевой элемент и сделать вывод, что ранг \(r = 1\).
Ответ. Возможен один из трех вариантов ответа : \(r = 3\), \(r = 2\), \(r = 1\).
Похожие публикации: