Вычисление разных пределов
Задача 1. Вычислить предел заданной функции.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{7^{3x}} - {3^{2x}}}}{{tgx + {x^3}}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{({7^{3x}} - 1) - ({3^{2x}} - 1)}}{{x + {x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x\ln 7 - 2x\ln 3}}{{{x^2} + 1}} = 0.\]
Задача 2. Вычислить предел заданной функции.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - {x^2}}}{{\sin \pi x}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 2x}}{{\pi \cos \pi x}} = \frac{{ - 2}}{{\pi \cos \pi }} = \frac{{ - 2}}{{ - \pi }} = \frac{2}{\pi }.\]
Задача 3. Вычислить предел заданной функции.
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos \sqrt x )^{\frac{1}{x}}} = {1^\infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - 2{\sin ^2}\frac{{\sqrt x }}{2})^{\frac{{ - 2{{\sin }^2}\frac{{\sqrt x }}{2}}}{{ - 2{{\sin }^2}\frac{{\sqrt x }}{2}}} \cdot \frac{1}{x}}} = \\ = {e^{ - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{{\sqrt x }}{2}}}{x}}} = {e^{ - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{2x}}}} = {e^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt e }}.\end{array}\]
Задача 4. Вычислить предел числовой последовательности.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n - \sin n}}{{\sqrt n - \sqrt[3]{{{n^3} - 7}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2 - \sin n/n}}{{\sqrt n /n - \sqrt[3]{{{n^3} - 7}}/n}} = \frac{2}{{ - 1}} = - 2.\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{7^{3x}} - {3^{2x}}}}{{tgx + {x^3}}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{({7^{3x}} - 1) - ({3^{2x}} - 1)}}{{x + {x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x\ln 7 - 2x\ln 3}}{{{x^2} + 1}} = 0.\]
Задача 2. Вычислить предел заданной функции.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - {x^2}}}{{\sin \pi x}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 2x}}{{\pi \cos \pi x}} = \frac{{ - 2}}{{\pi \cos \pi }} = \frac{{ - 2}}{{ - \pi }} = \frac{2}{\pi }.\]
Задача 3. Вычислить предел заданной функции.
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos \sqrt x )^{\frac{1}{x}}} = {1^\infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - 2{\sin ^2}\frac{{\sqrt x }}{2})^{\frac{{ - 2{{\sin }^2}\frac{{\sqrt x }}{2}}}{{ - 2{{\sin }^2}\frac{{\sqrt x }}{2}}} \cdot \frac{1}{x}}} = \\ = {e^{ - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{{\sqrt x }}{2}}}{x}}} = {e^{ - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{2x}}}} = {e^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt e }}.\end{array}\]
Задача 4. Вычислить предел числовой последовательности.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n - \sin n}}{{\sqrt n - \sqrt[3]{{{n^3} - 7}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2 - \sin n/n}}{{\sqrt n /n - \sqrt[3]{{{n^3} - 7}}/n}} = \frac{2}{{ - 1}} = - 2.\]
Похожие публикации: