Вычисление кратных интегралов
На координатной плоскости \(Oxy\) рассмотрим область \(S\), ограниченную замкнутой кривой. Пусть в области \(S\) определена фнкция \(z=f\left(x,y \right)\). Разобьем область \(S\) сеткой на конечное число подобластей \(S_{i}\) \(i=1,...,n\) с площадями \(\bigtriangleup S_{i}\), \(\lambda = max\left\{\lambda _{i} \right\}.\) В каждой подобласти выберем произвольно одну точку \(M_{i}\left(x_{i},y_{i} \right)\). Если умножить \(\bigtriangleup S_{i}\) на \(f\left(x_{i},y_{i} \right)\) - получим приближенный объем элементарного цилиндра, соответствующего подобласти \(\bigtriangleup S_{i}\). Просуммировав произведения по всем подобластям, получим интегральную сумму: \[I_{n}=\sum_{i=1}^{n}{f\left(x_{i},y_{i} \right)}\bigtriangleup S_{i}.\] Двойным интегралом от функции \(f\left(x,y \right)\) по области \(S\) называется конечный предел \(I\) интегральной суммы \(I_{n}\) при \(\lambda \rightarrow 0\), где \(\lambda\) - наибольший из диаметров элементарных областей.
\[I=\lim_{n \rightarrow \infty}I_{n} = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i},y_{i}\right)\triangle S_{i}.\]
Обозначения двойного интеграла:
\(I=\int_{}^{} \int_{}^{} f\left(x,y\right)dS;\) \(I=\int_{}^{} \int_{}^{} f\left(x,y\right)dxdy.\)
Пусть функция \(f\left(x,y,z\right)\) определена в ограниченной замкнутой пространственной области \(M\). Разобьем область \(M\) произвольным образом на \(n\) элементарных областей \(M_{1},M_{2},...,M_{n}\) с диаметрами \(d_{1},d_{2},...,d_{n}\) и объемами \(\triangle V_{1},\triangle V_{2},...,\triangle V_{n} \). В каждой элементарной области возьмем произвольную точку \(P_{k}\left(\xi_{k},\eta_{k},\zeta_{k}\right)\) и умножим значения функции в точке \(P_{k}\) на объем этой области.
Интегральной суммой для функции \(f\left(x,y,z\right)\) по области \(M\) называется сумма вида:
\[\sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k},\eta_{k},\zeta_{k}\right)\triangle V_{k}.\]
Предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех элементарных областей \(\triangle V_{k}\) называется тройным интегралом от функции \(f\left(x,y,z\right)\) по области \(M\) и обозначается:
\[\int_{}^{}\int_{}^{} \int_{}^{} f\left(x,y,z\right) dv \]
Аналогично определяются \(n\) - кратные интегралы.
С помощью нашего решебника вы можете вычислять двойные и кратные интегралы. Ниже приведены примеры команд. Скопируйте и вставьте в строку решателя или просто наберите ваш пример а затем нажмите кнопку "Решить".
Вычислить интеграл
Пусть функция \(f\left(x,y,z\right)\) определена в ограниченной замкнутой пространственной области \(M\). Разобьем область \(M\) произвольным образом на \(n\) элементарных областей \(M_{1},M_{2},...,M_{n}\) с диаметрами \(d_{1},d_{2},...,d_{n}\) и объемами \(\triangle V_{1},\triangle V_{2},...,\triangle V_{n} \). В каждой элементарной области возьмем произвольную точку \(P_{k}\left(\xi_{k},\eta_{k},\zeta_{k}\right)\) и умножим значения функции в точке \(P_{k}\) на объем этой области.
Интегральной суммой для функции \(f\left(x,y,z\right)\) по области \(M\) называется сумма вида:
Предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех элементарных областей \(\triangle V_{k}\) называется тройным интегралом от функции \(f\left(x,y,z\right)\) по области \(M\) и обозначается:
Аналогично определяются \(n\) - кратные интегралы.
С помощью нашего решебника вы можете вычислять двойные и кратные интегралы. Ниже приведены примеры команд. Скопируйте и вставьте в строку решателя или просто наберите ваш пример а затем нажмите кнопку "Решить".
Вычислить интеграл
integrate x^2 sin y dx dy, x=0..1, y=0..piВычислить интеграл по безграничной области
int e^-(x^2+y^2) dx dy, x=-oo to oo, y=-oo to oo
Похожие публикации: