Сложение и умножение матриц
Сложение матриц
Определение. Суммой (разностью) двух матриц \(A\) и \(B\) одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов слагаемых (вычитаемых) матриц. Сумма (разность) матриц \(A\) и \(B\) обозначается \(A + B\), а разность \((A - B{\text{ }})\).
Пример. \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&{ - 1} \\ 1&0&{{\text{ }}2} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&1 \\ 3&{ - 1}&{\text{1}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{{\text{ }}1}&0 \\ 4&{ - 1}&3 \end{array}} \right)\).
Другими словами, чтобы сложить две матрицы следует каждый элемент одной матрицы сложить с соответствующим элементом другой матриц.
Умножение матриц
Пример. \(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{ 1}}}&{\text{2}}&{\text{0}} \\ {{\text{ - 1}}}&{\text{1}}&{\text{2}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1} \\ 2&{{\text{ }}0} \\ 0&{{\text{ 1}}} \end{array}} \right) =\)
\(= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0}&{1 \cdot ( - 1) + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 1} \\ {( - 1) \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0}&{( - 1) \cdot ( - 1) + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&{ - 1} \\ 4&{{\text{ }}3} \end{array}} \right).\)
Произведение матриц в общем случае не обладает свойством коммутативности, т.е. не всегда \(AB = BA\). Это видно хотя бы из того, что из согласованности матрицы \(A\) с \(B\), вообще говоря, не следует согласованность матрицы \(B\) с \(A\). $$BA = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1} \\ 2&{{\text{ }}0} \\ 0&{{\text{ 1}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{ 1}}}&{\text{2}}&{\text{0}} \\ {{\text{ - 1}}}&{\text{1}}&{\text{2}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 1)}&{3 \cdot 2 + ( - 1) \cdot 1}&{3 \cdot 0 + ( - 1) \cdot 2} \\ {2 \cdot 1 + 0 \cdot ( - 1)}&{2 \cdot 2 + 0 \cdot 1}&{2 \cdot 0 + 0 \cdot 2} \\ {0 \cdot 1 + 1 \cdot ( - 1)}&{0 \cdot 2 + 1 \cdot 1}&{0 \cdot 0 + 1 \cdot 2} \end{array}} \right) = $$ $$ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{ }}4}&{\text{5}}&{{\text{ - 2}}} \\ {{\text{ }}2}&{\text{4}}&{{\text{ 0}}} \\ { - 1}&{\text{1}}&{{\text{ 2}}} \end{array}} \right){\text{ }}{\text{.}}$$
Определение. Суммой (разностью) двух матриц \(A\) и \(B\) одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов слагаемых (вычитаемых) матриц. Сумма (разность) матриц \(A\) и \(B\) обозначается \(A + B\), а разность \((A - B{\text{ }})\).
Пример. \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&{ - 1} \\ 1&0&{{\text{ }}2} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&1 \\ 3&{ - 1}&{\text{1}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{{\text{ }}1}&0 \\ 4&{ - 1}&3 \end{array}} \right)\).
Другими словами, чтобы сложить две матрицы следует каждый элемент одной матрицы сложить с соответствующим элементом другой матриц.
Умножение матриц
Произведение матриц в общем случае не обладает свойством коммутативности, т.е. не всегда \(AB = BA\). Это видно хотя бы из того, что из согласованности матрицы \(A\) с \(B\), вообще говоря, не следует согласованность матрицы \(B\) с \(A\). $$BA = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1} \\ 2&{{\text{ }}0} \\ 0&{{\text{ 1}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{ 1}}}&{\text{2}}&{\text{0}} \\ {{\text{ - 1}}}&{\text{1}}&{\text{2}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 1)}&{3 \cdot 2 + ( - 1) \cdot 1}&{3 \cdot 0 + ( - 1) \cdot 2} \\ {2 \cdot 1 + 0 \cdot ( - 1)}&{2 \cdot 2 + 0 \cdot 1}&{2 \cdot 0 + 0 \cdot 2} \\ {0 \cdot 1 + 1 \cdot ( - 1)}&{0 \cdot 2 + 1 \cdot 1}&{0 \cdot 0 + 1 \cdot 2} \end{array}} \right) = $$ $$ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{ }}4}&{\text{5}}&{{\text{ - 2}}} \\ {{\text{ }}2}&{\text{4}}&{{\text{ 0}}} \\ { - 1}&{\text{1}}&{{\text{ 2}}} \end{array}} \right){\text{ }}{\text{.}}$$
Похожие публикации: