Разложение функции в ряд
Степенным называется функциональный ряд вида:
\[\sum_\left(k=0\right)^\infty a_{k}\left(x-a\right)^{k}=a_{0}+a_{1}\left(x-a\right)+...,\]
где \(a_{k}\left(k=0,1,2,3...\right)\) - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.
Радиусом сходимости степенного ряда называется число \(R\) такое, что при \(\mid x-a \mid < R\) этот ряд сходится, а при \(\mid x-a \mid > R\) - расходится. Интервал \(\left(a-R,a+R\right)\) называется интервалом сходимости указанного ряда.
Радиус сходимости вычисляется по одной из формул:
\[\frac{1}{R}=\lim_{k \rightarrow \infty}\sqrt[k]{\mid a_{k} \mid};\] \[R=\lim_{ k \rightarrow \infty }\mid\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\mid,\] если соответствующий предел существует.
Если функция \(f\left(x\right)\) разлагается в степенной ряд \[f\left(x\right)=c_{0}+...+c_{k}\left(x-a\right)^{k}+... \] в некоторой окрестности точки \(a\), т.е. в интервале \(\left(a-h,a+h \right)\), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам: \[c_{0}=f\left(a\right),c_{k}=\frac{f^{k}\left(a\right)}{k!}\] \[\left(k=1,2,...\right)\]
Следовательно, \[f\left(x\right)=f\left(a\right)+...+\frac{f^{\left(k\right)}\left(a\right)}{k!}\left(x-a\right)^{k}+...\]
Ряд, стоящий в правой части этой формулы называется рядом Тейлора для функции \(f\left(x\right)\).
Указанная формула в частном случае при \(a=0\) определяет разложение функции в рад Маклорена.
С помощью нашего решебника вы можете разложить функцию в ряд Тейлора, Маклорена, и в дробно-степенной ряд Пюизё. Ниже приведены примеры команд. Скопируйте и вставьте в строку решателя или просто наберите ваш пример а затем нажмите кнопку "Решить".
Найти разложение в ряд Тейлора
где \(a_{k}\left(k=0,1,2,3...\right)\) - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.
Радиусом сходимости степенного ряда называется число \(R\) такое, что при \(\mid x-a \mid < R\) этот ряд сходится, а при \(\mid x-a \mid > R\) - расходится. Интервал \(\left(a-R,a+R\right)\) называется интервалом сходимости указанного ряда.
Радиус сходимости вычисляется по одной из формул:
\[\frac{1}{R}=\lim_{k \rightarrow \infty}\sqrt[k]{\mid a_{k} \mid};\] \[R=\lim_{ k \rightarrow \infty }\mid\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\mid,\] если соответствующий предел существует.
Если функция \(f\left(x\right)\) разлагается в степенной ряд \[f\left(x\right)=c_{0}+...+c_{k}\left(x-a\right)^{k}+... \] в некоторой окрестности точки \(a\), т.е. в интервале \(\left(a-h,a+h \right)\), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам: \[c_{0}=f\left(a\right),c_{k}=\frac{f^{k}\left(a\right)}{k!}\] \[\left(k=1,2,...\right)\]
Следовательно, \[f\left(x\right)=f\left(a\right)+...+\frac{f^{\left(k\right)}\left(a\right)}{k!}\left(x-a\right)^{k}+...\]
Ряд, стоящий в правой части этой формулы называется рядом Тейлора для функции \(f\left(x\right)\).
Указанная формула в частном случае при \(a=0\) определяет разложение функции в рад Маклорена.
С помощью нашего решебника вы можете разложить функцию в ряд Тейлора, Маклорена, и в дробно-степенной ряд Пюизё. Ниже приведены примеры команд. Скопируйте и вставьте в строку решателя или просто наберите ваш пример а затем нажмите кнопку "Решить".
Найти разложение в ряд Тейлора
taylor series sin xНайти разложение в ряд, указав порядок разложения
series sin x to order 20Найти разложение в ряд, указав центральную точку и порядок разложения
series (sin x)/(x-pi) at x=pi to order 10Найти разложение в ряд Маклорена
series cot z
series (sin z)/z^3 to order 10Найти разложение в ряд Пюизё
series sqrt(sin x) at x=0
Похожие публикации: