Первый и второй замечательный пределы. Примеры.
Задача 1. Вычислить предел заданной функции.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\sin 2x}}{{\sin 3x}}} \right)^{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{2x}}{{3x}}} \right)^{{x^2}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^0} = 1.\]
Задача 2. Вычислить предел заданной функции.
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {\frac{{2x - 1}}{x}} \right)^{1/(\sqrt[3]{x} - 1)}} = {1^\infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {1 + \frac{{x - 1}}{x}} \right)^{1/(\sqrt[3]{x} - 1)}} = \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {1 + \frac{{x - 1}}{x}} \right)^{\frac{x}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{x(\sqrt[3]{x} - 1)}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{x(\sqrt[3]{x} - 1)}}}} = \\ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}}{{x(\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}}{{x(x - 1)}}}} = \\ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}}{x}}} = {e^3}.\end{array}\]
Задача 3. Вычислить предел заданной функции.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {(\sin x)^{3/(1 + x)}} = {(\sin 2)^1} = \sin 2.\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{\sin 2x}}{{\sin 3x}}} \right)^{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{2x}}{{3x}}} \right)^{{x^2}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^0} = 1.\]
Задача 2. Вычислить предел заданной функции.
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {\frac{{2x - 1}}{x}} \right)^{1/(\sqrt[3]{x} - 1)}} = {1^\infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {1 + \frac{{x - 1}}{x}} \right)^{1/(\sqrt[3]{x} - 1)}} = \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {1 + \frac{{x - 1}}{x}} \right)^{\frac{x}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{x(\sqrt[3]{x} - 1)}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{x(\sqrt[3]{x} - 1)}}}} = \\ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}}{{x(\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}}{{x(x - 1)}}}} = \\ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}}{x}}} = {e^3}.\end{array}\]
Задача 3. Вычислить предел заданной функции.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {(\sin x)^{3/(1 + x)}} = {(\sin 2)^1} = \sin 2.\]
Похожие публикации: