Примеры пределов тригонометрических функций
Обычно, для вычисления пределов с тригонометрическими функциями применяют первый замечательный предел. Идея решения таких задач в том, чтобы привести функцию к замечательному пределу, а потом уже вычислять предел.
Задача. Вычислить предел функции $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{tgx - tg2}}{{\sin \ln (x - 1)}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \left\{ {2 - x = y,y \to 0} \right\} = $$ $$ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{tg(2 - y) - tg2}}{{\sin \ln (1 - y)}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{tg(2 - y) - tg2}}{{\ln (1 - y)}} = $$ $$ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}(2 - y)}}}}{{\frac{{ - 1}}{{1 - y}}}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{1 - y}}{{{{\cos }^2}(2 - y)}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}2}} = 1 + t{g^2}2.$$
Задача. Вычислить предел функции. $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{7^{3x}} - {3^{2x}}}}{{tgx + {x^3}}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{({7^{3x}} - 1) - ({3^{2x}} - 1)}}{{x + {x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x\ln 7 - 2x\ln 3}}{{{x^2} + 1}} = 0.$$
Задача. Вычислить предел функции. $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - {x^2}}}{{\sin \pi x}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 2x}}{{\pi \cos \pi x}} = \frac{{ - 2}}{{\pi \cos \pi }} = \frac{{ - 2}}{{ - \pi }} = \frac{2}{\pi }.$$
Задача. Вычислить предел функции. $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos \sqrt x )^{\frac{1}{x}}} = {1^\infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - 2{\sin ^2}\frac{{\sqrt x }}{2})^{\frac{{ - 2{{\sin }^2}\frac{{\sqrt x }}{2}}}{{ - 2{{\sin }^2}\frac{{\sqrt x }}{2}}} \cdot \frac{1}{x}}}$$ $$ = {e^{ - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{{\sqrt x }}{2}}}{x}}} = {e^{ - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{2x}}}} = {e^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt e }}.$$
Задача. Вычислить предел функции $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{tgx - tg2}}{{\sin \ln (x - 1)}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \left\{ {2 - x = y,y \to 0} \right\} = $$ $$ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{tg(2 - y) - tg2}}{{\sin \ln (1 - y)}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{tg(2 - y) - tg2}}{{\ln (1 - y)}} = $$ $$ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}(2 - y)}}}}{{\frac{{ - 1}}{{1 - y}}}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{1 - y}}{{{{\cos }^2}(2 - y)}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}2}} = 1 + t{g^2}2.$$
Задача. Вычислить предел функции. $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{7^{3x}} - {3^{2x}}}}{{tgx + {x^3}}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{({7^{3x}} - 1) - ({3^{2x}} - 1)}}{{x + {x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x\ln 7 - 2x\ln 3}}{{{x^2} + 1}} = 0.$$
Задача. Вычислить предел функции. $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - {x^2}}}{{\sin \pi x}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 2x}}{{\pi \cos \pi x}} = \frac{{ - 2}}{{\pi \cos \pi }} = \frac{{ - 2}}{{ - \pi }} = \frac{2}{\pi }.$$
Задача. Вычислить предел функции. $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\cos \sqrt x )^{\frac{1}{x}}} = {1^\infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - 2{\sin ^2}\frac{{\sqrt x }}{2})^{\frac{{ - 2{{\sin }^2}\frac{{\sqrt x }}{2}}}{{ - 2{{\sin }^2}\frac{{\sqrt x }}{2}}} \cdot \frac{1}{x}}}$$ $$ = {e^{ - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{{\sqrt x }}{2}}}{x}}} = {e^{ - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{2x}}}} = {e^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt e }}.$$
Похожие публикации: