Найти производную тригонометрической функции
Задача 1. Найти производную: \(y = arctg\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}.\)
Решение.
\[\begin{array}{l}y' = \frac{1}{{1 + \frac{{{{(\sqrt {1 + {x^2}} - 1)}^2}}}{{{x^2}}}}} \cdot \frac{{\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} - \sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{{{x^2}}} = \\ = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {{(\sqrt {1 + {x^2}} - 1)}^2}}} \cdot \frac{{{x^2} - (1 + {x^2}) - \sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}\sqrt {1 + {x^2}} }} = \\ = \frac{{ - 1 - \sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} ({x^2} + {{(\sqrt {1 + {x^2}} - 1)}^2}}}.\end{array}\]
Задача 2. Найти производную: \(y = \frac{{shx}}{{1 + chx}}.\)
Решение.
\[y' = \frac{{chx(1 + chx) - s{h^2}x}}{{{{(1 + chx)}^2}}}\].
Решение.
\[\begin{array}{l}y' = \frac{1}{{1 + \frac{{{{(\sqrt {1 + {x^2}} - 1)}^2}}}{{{x^2}}}}} \cdot \frac{{\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} - \sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{{{x^2}}} = \\ = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {{(\sqrt {1 + {x^2}} - 1)}^2}}} \cdot \frac{{{x^2} - (1 + {x^2}) - \sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}\sqrt {1 + {x^2}} }} = \\ = \frac{{ - 1 - \sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} ({x^2} + {{(\sqrt {1 + {x^2}} - 1)}^2}}}.\end{array}\]
Задача 2. Найти производную: \(y = \frac{{shx}}{{1 + chx}}.\)
Решение.
\[y' = \frac{{chx(1 + chx) - s{h^2}x}}{{{{(1 + chx)}^2}}}\].
Похожие публикации: