Найти производную функции
Задача 1. Найти производную: \(y = \frac{{{x^2}}}{{2\sqrt {1 - 3{x^4}} }}.\)
Решение.
\[\begin{array}{l}y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{{2x\sqrt {1 - 3{x^4}} - \frac{{ - 12{x^3} \cdot {x^2}}}{{2\sqrt {1 - 3{x^4}} }}}}{{1 - 3{x^4}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{4x(1 - 3{x^4}) + 12{x^5}}}{{2\sqrt {{{(1 - 3{x^4})}^3}} }} = \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{{4x - 12{x^5} + 12{x^5}}}{{2\sqrt {{{(1 - 3{x^4})}^3}} }} = \frac{x}{{\sqrt {{{(1 - 3{x^4})}^3}} }}.\end{array}\]
Задача 2. Найти производную: \(y = x + \frac{1}{{1 + {e^x}}} - \ln (1 + {e^x}).\)
Решение.
\[y' = 1 + \frac{{0 - {e^x}}}{{{{(1 + {e^x})}^2}}} - \frac{{{e^x}}}{{1 + {e^x}}} = 1 - \frac{{{e^x}}}{{{{(1 + {e^x})}^2}}} - \frac{{{e^x}}}{{1 + {e^x}}}.\]
Задача 3. Найти производную: \(y = {\ln ^3}(1 + \cos x)\).
Решение.
\[y' = 3{\ln ^2}(1 + \cos x) \cdot \frac{{ - \sin x}}{{1 + \cos x}} = \frac{{ - 3\sin x{{\ln }^2}(1 + \cos x)}}{{1 + \cos x}}.\]
Задача 4. Найти производную: \(y = ctg(\cos 5) - \frac{1}{{40}}\frac{{{{\cos }^2}20x}}{{\sin 40x}}.\)
Решение.
\[\begin{array}{l}y' = 0 - \frac{1}{{40}} \cdot \frac{{2 \cdot 20\cos 2x( - \sin 20x)\sin 40x - 40{{\cos }^2}20x\cos 40x}}{{{{\sin }^2}40x}} = \\ = - \frac{1}{{40}} \cdot \frac{{ - 40\cos 20x\sin 20x\sin 40x - 40{{\cos }^2}20x\cos 40x}}{{{{\sin }^2}40}} = \\ = \frac{{{{\sin }^2}40x + 2{{\cos }^2}20x\cos 40x}}{{2{{\sin }^2}40x}}.\end{array}\]
Решение.
\[\begin{array}{l}y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{{2x\sqrt {1 - 3{x^4}} - \frac{{ - 12{x^3} \cdot {x^2}}}{{2\sqrt {1 - 3{x^4}} }}}}{{1 - 3{x^4}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{4x(1 - 3{x^4}) + 12{x^5}}}{{2\sqrt {{{(1 - 3{x^4})}^3}} }} = \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{{4x - 12{x^5} + 12{x^5}}}{{2\sqrt {{{(1 - 3{x^4})}^3}} }} = \frac{x}{{\sqrt {{{(1 - 3{x^4})}^3}} }}.\end{array}\]
Задача 2. Найти производную: \(y = x + \frac{1}{{1 + {e^x}}} - \ln (1 + {e^x}).\)
Решение.
\[y' = 1 + \frac{{0 - {e^x}}}{{{{(1 + {e^x})}^2}}} - \frac{{{e^x}}}{{1 + {e^x}}} = 1 - \frac{{{e^x}}}{{{{(1 + {e^x})}^2}}} - \frac{{{e^x}}}{{1 + {e^x}}}.\]
Задача 3. Найти производную: \(y = {\ln ^3}(1 + \cos x)\).
Решение.
\[y' = 3{\ln ^2}(1 + \cos x) \cdot \frac{{ - \sin x}}{{1 + \cos x}} = \frac{{ - 3\sin x{{\ln }^2}(1 + \cos x)}}{{1 + \cos x}}.\]
Задача 4. Найти производную: \(y = ctg(\cos 5) - \frac{1}{{40}}\frac{{{{\cos }^2}20x}}{{\sin 40x}}.\)
Решение.
\[\begin{array}{l}y' = 0 - \frac{1}{{40}} \cdot \frac{{2 \cdot 20\cos 2x( - \sin 20x)\sin 40x - 40{{\cos }^2}20x\cos 40x}}{{{{\sin }^2}40x}} = \\ = - \frac{1}{{40}} \cdot \frac{{ - 40\cos 20x\sin 20x\sin 40x - 40{{\cos }^2}20x\cos 40x}}{{{{\sin }^2}40}} = \\ = \frac{{{{\sin }^2}40x + 2{{\cos }^2}20x\cos 40x}}{{2{{\sin }^2}40x}}.\end{array}\]
Похожие публикации: