Как найти область определения функции
Здесь приведены примеры решения типовой задачи, в которой требуется найти область определения функции. Напомним, что область определения функции y=f(x) – это множество всех значений аргумента x, на котором задана функция. Другими словами, это все x, для которых могут существовать значения y. Обычно, для элементарных функций проблемы с областью определения возникают, если функция имеет знаменатель или корень, или, например логарифм.
Задача 1. Найти область определения функции \(f(x)= \frac{x-2}{2x-1}.\)
Решение 1. Данная функция определена, если \(2x-1\neq 0\), т.е. если \(x\neq 1/2\). Таким образом, областью определения функции является объединение двух интервалов: $$D(f)=]-\infty, 1/2[\cup ] 1/2,+\infty[.$$
Задача 2. Найти область определения функции \(f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x-1}\).
Решение 2. Функция определена, если \(x-1\neq 0\) и \(x+1> 0\), т.е. если \(x\neq 1\) и \(x> -1.\) Область определения функции есть объединение двух интервалов: $$D(f)=]-1, 1[\cup ] 1,+\infty[.$$
Задача 3. Найти область определения функции $$f(x)=\sqrt{1-2x}+3\arcsin\frac{3x-1}{2}.$$ Решение 3. Первое слагаемое принимает действительные значения при \(1-2x\geq 0\), а второе – при \(-1\leq (3x-1)/2\leq 1.\) Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: $$\cases { 1-2x\geq 0\cr (3x-1)/2\leq 1\cr (3x-1)/2\geq -1}$$ В результате получаем \(x\leq 1/2, x\leq 1, x\geq -1/3.\) Следовательно, область определения функции есть отрезок \([-1/3,1/2].\)
Задача 1. Найти область определения функции \(f(x)= \frac{x-2}{2x-1}.\)
Решение 1. Данная функция определена, если \(2x-1\neq 0\), т.е. если \(x\neq 1/2\). Таким образом, областью определения функции является объединение двух интервалов: $$D(f)=]-\infty, 1/2[\cup ] 1/2,+\infty[.$$
Задача 2. Найти область определения функции \(f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x-1}\).
Решение 2. Функция определена, если \(x-1\neq 0\) и \(x+1> 0\), т.е. если \(x\neq 1\) и \(x> -1.\) Область определения функции есть объединение двух интервалов: $$D(f)=]-1, 1[\cup ] 1,+\infty[.$$
Задача 3. Найти область определения функции $$f(x)=\sqrt{1-2x}+3\arcsin\frac{3x-1}{2}.$$ Решение 3. Первое слагаемое принимает действительные значения при \(1-2x\geq 0\), а второе – при \(-1\leq (3x-1)/2\leq 1.\) Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: $$\cases { 1-2x\geq 0\cr (3x-1)/2\leq 1\cr (3x-1)/2\geq -1}$$ В результате получаем \(x\leq 1/2, x\leq 1, x\geq -1/3.\) Следовательно, область определения функции есть отрезок \([-1/3,1/2].\)
Похожие публикации: