Вычислить определенный интеграл

Вычислить интеграл: \[ \int _{1}^{4} \left( 2x+\frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx \] Преобразуем подынтегральное выражение \[ \int _{1}^{4} \left( 2x+\frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx = \int _{1}^{4} \left( 2x+ 3 x^{-\frac{1}{2}} \right) dx \] Разобьем интеграл от суммы на сумму интегралов и вынесем за знак интеграла константы: \[ \int _{1}^{4} \left( 2x+\frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx = \int _{1}^{4} \left( 2x+ 3 x^{-\frac{1}{2}} \right) dx = 2 \int _{1}^{4} x dx + 3 \int _{1}^{4} x^{-\frac{1}{2}} dx \] Полученные интегралы являются табличными, вычислим их: \[ \int _{1}^{4} \left( 2x+\frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx = 2 \int _{1}^{4} x dx + 3 \int _{1}^{4} x^{-\frac{1}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} \bigg| _{1}^{4} + 3 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \bigg| _{1}^{4} = \] \[ = 2 \cdot \frac{x^{2}}{2} \bigg| _{1}^{4} + 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \bigg| _{1}^{4} = x^{2} \bigg| _{1}^{4} + 6 \sqrt{x} \bigg| _{1}^{4} = (4^{2}-1^{2}) + 6 (\sqrt{4}-\sqrt{1}) = \] \[ = (16-1)+ 6 \cdot (2-1) = 15+6=21 \] Ответ: \[ \int _{1}^{4} \left( 2x+\frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx = 21 \]