Доказать справедливость равенства с пределом
Задача. Доказать, что cправедливо равенство (указать \(N(\varepsilon )\)) для заданных значений \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = a\]
Решение.
\({a_n} = \frac{{1 - 2{n^2}}}{{2 + 4{n^2}}},a = - \frac{1}{2},\) \(\varepsilon > 0\). \(\left| {{a_n} - a} \right| = \left| {\frac{{1 - 2{n^2}}}{{2 + 4{n^2}}} + \frac{1}{2}} \right| < \varepsilon ,\) \(\left| {\frac{{2 - 4{n^2} + 2 + 4{n^2}}}{{2(2 + 4{n^2})}}} \right| < \varepsilon ,\)
\(\frac{4}{{2(2 + 4{n^2})}} < \varepsilon ,\) \(n > \sqrt {\frac{1}{{2\varepsilon }} - \frac{1}{2}} ,\) \(N(\varepsilon ) = \left[ {\frac{1}{{2\varepsilon }} - \frac{1}{2}} \right]\)
при \(\forall n > N(\varepsilon )\) выполняется неравенство \(\left| {{a_n} - a} \right| < \varepsilon \), следовательно
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 - 2{n^2}}}{{2 + 4{n^2}}} = \frac{1}{2}.\]
\(\frac{4}{{2(2 + 4{n^2})}} < \varepsilon ,\) \(n > \sqrt {\frac{1}{{2\varepsilon }} - \frac{1}{2}} ,\) \(N(\varepsilon ) = \left[ {\frac{1}{{2\varepsilon }} - \frac{1}{2}} \right]\)
при \(\forall n > N(\varepsilon )\) выполняется неравенство \(\left| {{a_n} - a} \right| < \varepsilon \), следовательно
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 - 2{n^2}}}{{2 + 4{n^2}}} = \frac{1}{2}.\]
Похожие публикации: