Доказать, что функция непрерывна в заданной точке
Задача . Доказать, что функция \(f(x)\)непрерывна в точке \({x_0}\)(найти \(\delta (\varepsilon )\)).
\[f(x) = 2{x^2} - 4,{x_0} = 3.\]
Решение.
\[f(x) = 2{x^2} - 4,{x_0} = 3.\]
Решение.
\(\left| {f(x) - f({x_0}} \right| < \varepsilon \) при \(\left| {x - {x_0}} \right| < \delta (\varepsilon )\),
\(\left| {2{x^2} - 4 - (2 \cdot 9 - 4)} \right| = \left| {2{x^2} - 18} \right| = 2\left| {{x^2} - 9} \right| < \varepsilon \),
\(\left| {{x^2} - 9} \right| < \varepsilon /2,\)
\(\left| {(x - 3)(x + 3)} \right| < \varepsilon /2 \Rightarrow \)\(\left| {x - 3} \right| < \varepsilon /2 \Rightarrow \)
\( \Rightarrow \left| {f(x) - f({x_0})} \right| < \varepsilon \) выполняется при \(\left| {x - {x_0}} \right| < \delta (\varepsilon ) = \varepsilon /2.\)
\(\left| {2{x^2} - 4 - (2 \cdot 9 - 4)} \right| = \left| {2{x^2} - 18} \right| = 2\left| {{x^2} - 9} \right| < \varepsilon \),
\(\left| {{x^2} - 9} \right| < \varepsilon /2,\)
\(\left| {(x - 3)(x + 3)} \right| < \varepsilon /2 \Rightarrow \)\(\left| {x - 3} \right| < \varepsilon /2 \Rightarrow \)
\( \Rightarrow \left| {f(x) - f({x_0})} \right| < \varepsilon \) выполняется при \(\left| {x - {x_0}} \right| < \delta (\varepsilon ) = \varepsilon /2.\)
Похожие публикации: