Дана последовательность. Вычислить ее предел.
Задача 1. Вычислить предел числовой последовательности.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[3]{{{n^2} - 1}} + 7{n^3}}}{{\sqrt[4]{{{n^{12}} + n + 1}} - n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[3]{{\frac{1}{{{n^7}}} - \frac{1}{{{n^9}}}}} + 7}}{{\sqrt[4]{{1 + \frac{1}{{{n^{11}}}} + \frac{1}{{{n^{12}}}}}} - \frac{1}{{{n^2}}}}} = 7.\]
Задача 2. Вычислить предел числовой последовательности.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n(\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt {{n^2} - 1} ) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n(\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt {{n^2} - 1} )(\sqrt {{n^2} + 1} + \sqrt {{n^2} - 1} }}{{\sqrt {{n^2} + 1} + \sqrt {{n^2} - 1} }} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n({n^2} + 1 - {n^2} + 1)}}{{\sqrt {{n^2} + 1} + \sqrt {{n^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} + \sqrt {{n^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{2}{{\sqrt {1 + 1/{n^2}} + \sqrt {1 - 1/{n^2}} }} = 1.\]
Задача 3. Вычислить предел числовой последовательности.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{(2n + 1)! + (2n + 2)!}}{{(2n + 3)! - (2n + 2)!}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + (2n + 2)}}{{(2n + 2)(2n + 3) - (2n + 2)}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n + 3}}{{4{n^2} + 8n + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}}{{4 + \frac{8}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}}} = 0.\].
Задача 4. Вычислить предел числовой последовательности.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{2n + 3}}{{2n + 1}}} \right)^{n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{2}{{2n + 1}}} \right)^{n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{2}{{2n + 1}}} \right)^{\frac{{2n + 1}}{2} \cdot \frac{2}{{2n + 1}} \cdot (n + 1)}} = \]
\[ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n + 2}}{{2n + 1}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2 + 2/n}}{{2 + 1/n}}}} = e.\]
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[3]{{{n^2} - 1}} + 7{n^3}}}{{\sqrt[4]{{{n^{12}} + n + 1}} - n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[3]{{\frac{1}{{{n^7}}} - \frac{1}{{{n^9}}}}} + 7}}{{\sqrt[4]{{1 + \frac{1}{{{n^{11}}}} + \frac{1}{{{n^{12}}}}}} - \frac{1}{{{n^2}}}}} = 7.\]
Задача 2. Вычислить предел числовой последовательности.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n(\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt {{n^2} - 1} ) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n(\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt {{n^2} - 1} )(\sqrt {{n^2} + 1} + \sqrt {{n^2} - 1} }}{{\sqrt {{n^2} + 1} + \sqrt {{n^2} - 1} }} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n({n^2} + 1 - {n^2} + 1)}}{{\sqrt {{n^2} + 1} + \sqrt {{n^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} + \sqrt {{n^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{2}{{\sqrt {1 + 1/{n^2}} + \sqrt {1 - 1/{n^2}} }} = 1.\]
Задача 3. Вычислить предел числовой последовательности.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{(2n + 1)! + (2n + 2)!}}{{(2n + 3)! - (2n + 2)!}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + (2n + 2)}}{{(2n + 2)(2n + 3) - (2n + 2)}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n + 3}}{{4{n^2} + 8n + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}}{{4 + \frac{8}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}}} = 0.\].
Задача 4. Вычислить предел числовой последовательности.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{2n + 3}}{{2n + 1}}} \right)^{n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{2}{{2n + 1}}} \right)^{n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{2}{{2n + 1}}} \right)^{\frac{{2n + 1}}{2} \cdot \frac{2}{{2n + 1}} \cdot (n + 1)}} = \]
\[ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n + 2}}{{2n + 1}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2 + 2/n}}{{2 + 1/n}}}} = e.\]
Похожие публикации: