Частные производные и производные по направлению
Рассмотрим функцию двух переменных \(z=f\left(x,y \right)\). Зафиксируем один из ее аргументов, например \(y\), положив \(y=y_{0}\). Тогда функция \(z=f\left(x,y_{0} \right)\) будет функцией одной переменной \(x\). Пусть она имеет производную в точке \(x_{0}\) т.е. существует предел \[\lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{f\left(x_{0}+\bigtriangleup x;y_{0} \right)-f\left(x_{0};y_{0} \right)}{\bigtriangleup x}.\] Эта производная называется частной производной функции \(z=f\left(x,y \right)\) по переменной \(x\) в точке \(P_{0}\left(x_{0},y_{0} \right)\) и обозначается \(f_{x}'\left(x_{0},y_{0} \right)\).
Аналогично определяется частная производная по переменной \(y\): \(f_{y}'\left(x_{0},y_{0} \right)\).
Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля \(u=F\left(x,y,z \right)\). Рассмотрим точку \(P\left(x;y;z \right)\) этого поля и луч \(\vec{l}\), выходящий из точки \(P\) в направлении вектора \(\vec{a}\), \[\vec{a} = a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}+a_{z}\vec{k}.\] Тогда производная функции \(u=F\left(x,y,z \right)\) в точке \(P\) по направлению луча \(\vec{l}\) вычисляется по формуле: \[\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial u}{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial u}{\partial z}\cos \gamma ,\] где \[\cos \alpha =\frac{a_{x}}{\left|a \right|}; \cos \beta =\frac{a_{y}}{\left|a \right|};\] \[\cos \gamma =\frac{a_{z}}{\left|a \right|}; \left|a \right|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}.\]
С помощью нашего решебника вы можете находить частные производные и производные по направлению. Ниже приведены примеры команд. Скопируйте и вставьте в строку решателя или просто наберите ваш пример а затем нажмите кнопку "Решить".
Найти частные производные
Аналогично определяется частная производная по переменной \(y\): \(f_{y}'\left(x_{0},y_{0} \right)\).
Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля \(u=F\left(x,y,z \right)\). Рассмотрим точку \(P\left(x;y;z \right)\) этого поля и луч \(\vec{l}\), выходящий из точки \(P\) в направлении вектора \(\vec{a}\), \[\vec{a} = a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}+a_{z}\vec{k}.\] Тогда производная функции \(u=F\left(x,y,z \right)\) в точке \(P\) по направлению луча \(\vec{l}\) вычисляется по формуле: \[\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial u}{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial u}{\partial z}\cos \gamma ,\] где \[\cos \alpha =\frac{a_{x}}{\left|a \right|}; \cos \beta =\frac{a_{y}}{\left|a \right|};\] \[\cos \gamma =\frac{a_{z}}{\left|a \right|}; \left|a \right|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}.\]
С помощью нашего решебника вы можете находить частные производные и производные по направлению. Ниже приведены примеры команд. Скопируйте и вставьте в строку решателя или просто наберите ваш пример а затем нажмите кнопку "Решить".
Найти частные производные
d/dx x^2 y^4, d/dy x^2 y^4Найти частные производные высших порядков
d/dx d/dy x^2 y^4Найти производную по направлению
derivative of x^2 y+ x y^2 in the direction (1,1)Найти частные производные функции, заданной неявно
d/dy f(x^2 + x y +y^2)
Похожие публикации: