Вычисление определенных и несобственных интегралов
Пусть функция \(f\left(x \right)\) определена на отрезке \(\left[a,b \right]\). Разобьем \(\left[a,b \right]\) на \(n\) частей точками \(a=x_{0} < x_{1} <...< x_{n-1}=b.\) В каждом из полученных элементарных отрезков длиной \(\bigtriangleup x_{i}=x_{i}-x_{i-1} \left(i=1,2,...,n \right)\) произвольным образом выбираем точки \(\xi _{i}\) и составим сумму:
\[\sum_{i=1}^{n}{f\left(\xi _{i} \right)\bigtriangleup x_{i}}=f\left(\xi _{1} \right)\bigtriangleup x_{1}+...+f\left(\xi _{n} \right)\bigtriangleup x_{n}.\]
Эта сумма называется интегральной суммой Дарбу функции \(y=f\left(x \right)\) на отрезке \([ a,b ]\). Обозначим \(\lambda =max\left\{\bigtriangleup x_{i} \right\}\). Определенным интегралом от функции \(y=f\left(x \right)\) на отрезке \(\left[a,b \right]\) называется предел ее интегральной суммы в случае, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю: \[\int_{a}^{b}{f\left(x \right)dx}=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}{f\left(\xi _{i} \right)\bigtriangleup x_{i}}.\]
Если функция \(f\left(x \right)\) интегрируема на любом отрезке \(\left[a,b \right]\), где \(a < b < \infty\), то полагают
\[\int_{a}^{\infty }{f\left(x \right)dx}=\lim_{b\rightarrow \infty }\int_{a}^{b}{f\left(x \right)dx}.\]
Интеграл \(\int_{a}^{\infty }{f\left(x \right)dx}\) называется сходящимся, если существует предел в правой части указанного равенства и называется расходящимся, если указанный предел не существует.
Аналогично рассматриваются остальные варианты несобственных интегралов с бесконечными границами:
\[\int_{-\infty }^{b}{f\left(x \right)dx}=\lim_{a \rightarrow \infty}\int_{a}^{b}{f\left(x \right)dx};\]
\[\int_{-\infty }^{+\infty }{f\left(x \right)dx}=\lim_{a, b\rightarrow \infty }\int_{a}^{b}{f\left(x \right)dx}.\]
Из приведенного выше определения следует, что несобственный интеграл с бесконечной границей является не пределом интегральной суммы, а пределом определенного интеграла с переменной границей интегрирования.
С помощью нашего решебника вы можете вычислять определенные и несобственные интегралы. Ниже приведены примеры команд. Скопируйте и вставьте в строку решателя или просто наберите ваш пример а затем нажмите кнопку "Решить".
Вычислить определенный интеграл
Эта сумма называется интегральной суммой Дарбу функции \(y=f\left(x \right)\) на отрезке \([ a,b ]\). Обозначим \(\lambda =max\left\{\bigtriangleup x_{i} \right\}\). Определенным интегралом от функции \(y=f\left(x \right)\) на отрезке \(\left[a,b \right]\) называется предел ее интегральной суммы в случае, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю: \[\int_{a}^{b}{f\left(x \right)dx}=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}{f\left(\xi _{i} \right)\bigtriangleup x_{i}}.\]
Если функция \(f\left(x \right)\) интегрируема на любом отрезке \(\left[a,b \right]\), где \(a < b < \infty\), то полагают
Интеграл \(\int_{a}^{\infty }{f\left(x \right)dx}\) называется сходящимся, если существует предел в правой части указанного равенства и называется расходящимся, если указанный предел не существует.
Аналогично рассматриваются остальные варианты несобственных интегралов с бесконечными границами:
Из приведенного выше определения следует, что несобственный интеграл с бесконечной границей является не пределом интегральной суммы, а пределом определенного интеграла с переменной границей интегрирования.
С помощью нашего решебника вы можете вычислять определенные и несобственные интегралы. Ниже приведены примеры команд. Скопируйте и вставьте в строку решателя или просто наберите ваш пример а затем нажмите кнопку "Решить".
Вычислить определенный интеграл
integrate sin x dx from x=0 to pi
int e^(-a t) dt, t=0..a
integrate sin^2(x) + 2 sin^4(2x) from 0 to piВычислить несобственный интеграл
int sinx/x dx, x=0..infinity
int e^(-t^2) dt, t=-infinity to infinityСгенерировать перечень формул определенного интеграла
definite integrals containing exp(t)
Похожие публикации: