Векторы и координаты

Рассмотрим векторы в пространстве (для векторов на плоскости справедливы те же формулы, что и для пространства, но надо убрать из формул координату z):

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора: $$A(x_1;y_1;z_1),\; B(x_2;y_2;z_2),\; тоді\; \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1);$$ Операции с векторами: $$\overrightarrow{a}=(x_1;y_1;z_1),\;\overrightarrow{b}=(x_2;y_2;z_2);$$ $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2;y_1+y_2;z_1+z_2);$$ $$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_1-x_2;y_1-y_2;z_1-z_2);$$ $$k\cdot\overrightarrow{a}=(kx_1;ky_1;kz_1);$$ $$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\;-\; модуль\; вектора;$$ $$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+z_1\cdot z_2 \;-\; скалярное\; произведение \;векторов;$$ $$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot \cos\alpha,\; де\;\alpha\; - \;угол \;между\; векторами;$$ Важные свойства векторов:

Два вектора называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Координаты таких векторов пропорциональны;

$$Для\; двух\; ненулевых\; векторов:\;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0;$$ $$\cos\alpha=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2} },\; где \;\alpha\; - \;угол \;между\; векторами;$$ Расстояние между точками и координаты середины отрезка: $$A(x_1;y_1;z_1),\; B(x_2;y_2;z_2),\; тогда\; AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2};$$ $$C(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2};\frac{z_1+z_2}{2}),\; где\; C- середина\; отрезка\; AB;$$ Уравнения прямой и окружности:

$$ax+by+b=0 \;-\; общее\; уравнение\; прямой;$$ $$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2\; -\; уравнение \;окружности\; с\; центром \;в\; точке\; (a;b) \;и\; радиусом\; R;$$