Найти обратную матрицу. Формула в общем виде.
Задача. Дана матрица \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\
{{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right)\). Найти обратную матрицу \({A^{ - 1}}\).
Решение.
Матрица \({A^{ - 1}}\) является обратной к матрице \(A\), если их произведение равно единичной матрице \(E\) (на главной диагонали единицы, остальные элементы - нули): \({A^{ - 1}}A = A{A^{ - 1}} = E\).
Сразу находят определитель матрицы \(A\). Если определитель матрицы \(\left| A \right| = 0\), то обратной матрицы не существует. Если же определитель \(\left| A \right| \ne 0\), то находят алгебраические дополнения элементов матрицы \(A\).
$$\left| A \right| = {a_{11}}{a_{22}}{a_{33}} + {a_{12}}{a_{23}}{a_{31}} + {a_{21}}{a_{32}}{a_{13}} - {a_{13}}{a_{22}}{a_{31}} - {a_{12}}{a_{21}}{a_{33}} - {a_{23}}{a_{32}}{a_{11}}$$
\({A_{11}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\
{{a_{32}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right| = {a_{22}}{a_{33}} - {a_{23}}{a_{32}}\) \({A_{12}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{21}}}&{{a_{23}}} \\
{{a_{31}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right| = - ({a_{21}}{a_{33}} - {a_{23}}{a_{31}}) = {a_{23}}{a_{31}} - {a_{21}}{a_{33}}\)
\({A_{13}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{21}}}&{{a_{22}}} \\
{{a_{31}}}&{{a_{32}}}
\end{array}} \right| = {a_{21}}{a_{32}} - {a_{22}}{a_{31}}\) \({A_{21}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\
{{a_{32}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right| = - ({a_{12}}{a_{33}} - {a_{13}}{a_{32}}) = {a_{13}}{a_{32}} - {a_{12}}{a_{33}}\)
$${A_{22}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{13}}} \\
{{a_{31}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right| = {a_{11}}{a_{33}} - {a_{13}}{a_{31}}$$ $${A_{23}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\
{{a_{31}}}&{{a_{32}}}
\end{array}} \right| = - ({a_{11}}{a_{32}} - {a_{12}}{a_{31}}) = {a_{12}}{a_{31}} - {a_{11}}{a_{32}}$$
$${A_{31}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\
{{a_{22}}}&{{a_{23}}}
\end{array}} \right| = {a_{12}}{a_{23}} - {a_{13}}{a_{22}}$$ $${A_{32}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{13}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{23}}}
\end{array}} \right| = - ({a_{11}}{a_{23}} - {a_{13}}{a_{21}}) = {a_{13}}{a_{21}} - {a_{11}}{a_{23}}$$
$${A_{33}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}
\end{array}} \right| = {a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}$$
Определитель \(\left| A \right|\) и алгебраические дополнения
$${A_{11}},{A_{12}},{A_{13}},{A_{21}},{A_{22}},{A_{23}},{A_{31}},{A_{32}},{A_{33}}$$
подставляют в формулу
$${A^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| A \right|}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_{11}}}&{{A_{21}}}&{{A_{31}}} \\
{{A_{12}}}&{{A_{22}}}&{{A_{32}}} \\
{{A_{13}}}&{{A_{23}}}&{{A_{33}}}
\end{array}} \right)$$
Ответ.
$${A^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| A \right|}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{22}}{a_{33}} - {a_{23}}{a_{32}}}&{{a_{13}}{a_{32}} - {a_{12}}{a_{33}}}&{{a_{12}}{a_{23}} - {a_{13}}{a_{22}}} \\
{{a_{23}}{a_{31}} - {a_{21}}{a_{33}}}&{{a_{11}}{a_{33}} - {a_{13}}{a_{31}}}&{{a_{13}}{a_{21}} - {a_{11}}{a_{23}}} \\
{{a_{21}}{a_{32}} - {a_{22}}{a_{31}}}&{{a_{12}}{a_{31}} - {a_{11}}{a_{32}}}&{{a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}}
\end{array}} \right)$$ $$\left| A \right| = {a_{11}}{a_{22}}{a_{33}} + {a_{12}}{a_{23}}{a_{31}} + {a_{21}}{a_{32}}{a_{13}} - {a_{13}}{a_{22}}{a_{31}} - {a_{12}}{a_{21}}{a_{33}} - {a_{23}}{a_{32}}{a_{11}}$$
Замечание. Для проверки правильности нахождения обратной матрицы, ее умножают на исходную матрицу – должна получиться единичная матрица.
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\
{{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right)\). Найти обратную матрицу \({A^{ - 1}}\).
Решение.
Матрица \({A^{ - 1}}\) является обратной к матрице \(A\), если их произведение равно единичной матрице \(E\) (на главной диагонали единицы, остальные элементы - нули): \({A^{ - 1}}A = A{A^{ - 1}} = E\).
Сразу находят определитель матрицы \(A\). Если определитель матрицы \(\left| A \right| = 0\), то обратной матрицы не существует. Если же определитель \(\left| A \right| \ne 0\), то находят алгебраические дополнения элементов матрицы \(A\).
$$\left| A \right| = {a_{11}}{a_{22}}{a_{33}} + {a_{12}}{a_{23}}{a_{31}} + {a_{21}}{a_{32}}{a_{13}} - {a_{13}}{a_{22}}{a_{31}} - {a_{12}}{a_{21}}{a_{33}} - {a_{23}}{a_{32}}{a_{11}}$$
\({A_{11}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\
{{a_{32}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right| = {a_{22}}{a_{33}} - {a_{23}}{a_{32}}\) \({A_{12}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{21}}}&{{a_{23}}} \\
{{a_{31}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right| = - ({a_{21}}{a_{33}} - {a_{23}}{a_{31}}) = {a_{23}}{a_{31}} - {a_{21}}{a_{33}}\)
\({A_{13}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{21}}}&{{a_{22}}} \\
{{a_{31}}}&{{a_{32}}}
\end{array}} \right| = {a_{21}}{a_{32}} - {a_{22}}{a_{31}}\) \({A_{21}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\
{{a_{32}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right| = - ({a_{12}}{a_{33}} - {a_{13}}{a_{32}}) = {a_{13}}{a_{32}} - {a_{12}}{a_{33}}\)
$${A_{22}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{13}}} \\
{{a_{31}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right| = {a_{11}}{a_{33}} - {a_{13}}{a_{31}}$$ $${A_{23}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\
{{a_{31}}}&{{a_{32}}}
\end{array}} \right| = - ({a_{11}}{a_{32}} - {a_{12}}{a_{31}}) = {a_{12}}{a_{31}} - {a_{11}}{a_{32}}$$
$${A_{31}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\
{{a_{22}}}&{{a_{23}}}
\end{array}} \right| = {a_{12}}{a_{23}} - {a_{13}}{a_{22}}$$ $${A_{32}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{13}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{23}}}
\end{array}} \right| = - ({a_{11}}{a_{23}} - {a_{13}}{a_{21}}) = {a_{13}}{a_{21}} - {a_{11}}{a_{23}}$$
$${A_{33}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}
\end{array}} \right| = {a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}$$
Определитель \(\left| A \right|\) и алгебраические дополнения
$${A_{11}},{A_{12}},{A_{13}},{A_{21}},{A_{22}},{A_{23}},{A_{31}},{A_{32}},{A_{33}}$$
подставляют в формулу
$${A^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| A \right|}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_{11}}}&{{A_{21}}}&{{A_{31}}} \\
{{A_{12}}}&{{A_{22}}}&{{A_{32}}} \\
{{A_{13}}}&{{A_{23}}}&{{A_{33}}}
\end{array}} \right)$$
Ответ.
$${A^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| A \right|}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{22}}{a_{33}} - {a_{23}}{a_{32}}}&{{a_{13}}{a_{32}} - {a_{12}}{a_{33}}}&{{a_{12}}{a_{23}} - {a_{13}}{a_{22}}} \\
{{a_{23}}{a_{31}} - {a_{21}}{a_{33}}}&{{a_{11}}{a_{33}} - {a_{13}}{a_{31}}}&{{a_{13}}{a_{21}} - {a_{11}}{a_{23}}} \\
{{a_{21}}{a_{32}} - {a_{22}}{a_{31}}}&{{a_{12}}{a_{31}} - {a_{11}}{a_{32}}}&{{a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}}
\end{array}} \right)$$ $$\left| A \right| = {a_{11}}{a_{22}}{a_{33}} + {a_{12}}{a_{23}}{a_{31}} + {a_{21}}{a_{32}}{a_{13}} - {a_{13}}{a_{22}}{a_{31}} - {a_{12}}{a_{21}}{a_{33}} - {a_{23}}{a_{32}}{a_{11}}$$
Замечание. Для проверки правильности нахождения обратной матрицы, ее умножают на исходную матрицу – должна получиться единичная матрица.
Похожие публикации: