Треугольники
В тестах и задачах ЗНО, ВНО и ЕГЭ обязательно есть задачи про треугольники. Здесь собраны самые нужные формулы для решения задач на треугольники. Также приводятся свойства и теоремы про треугольники.
$$ В \; произвольном \; \Delta ABC \; стороны \; и \; углы \; связаны \; соотношениями: $$
Сумма углов треугольника равна 180 градусов;
Теорема косинусов:
$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC \cdot\cos\angle A;$$
Теорема синусов:
$$ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B }=\frac{AB}{\sin C} = 2R$$
где R - радиус описанной окружности;
Площадь треугольника находится по формулам:
$$ S = \frac{1}{2}ah, \; где \; a \; сторона, \; а \; h \; высота, \; опущенная \; на \; эту \; сторону; $$
$$ S = \frac{1}{2}ab\sin\alpha, \; где \; a \; и \; b \; две \; стороны, \; а \; \alpha \; - \; угол \; между \; ними; $$
$$ S = \sqrt{p( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) }, \; где \; p = \frac { a + b + c } {2 }; $$
$$ S = pr, \; где \; p = \frac { a + b + c } {2 }, \; r \; - \; радиус \; вписанной \; окружности $$
Важнейшие свойства медианы и биссектрисы треугольника:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой
делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки,
пропорциональные соответствующим боковым сторонам.
Важнейшие свойства прямоугольного треугольника:
Теорема Пифагора: $$ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 , \; где \; a \; и \; b \; - \; катеты , \; а \; c \; - \; гипотенуза; $$ Медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине;
Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы и радиус равен ее половине;
Длина высоты, проведенной к гипотенузе вычисляется по формуле: $$ h = \sqrt { mn } , \; где \; m \; и \; n \; - \; длины \; отрезков, \; на \; которые \; высота \; делит \; гипотенузу; $$ Синусом угла называют отношение противолежащего катета к гипотенузе;
Косинусом угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе;
Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему ;
Котангенсом угла называют отношение прилежащего катета к противолежащему.
Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота,
проведенные к основанию, совпадают;
В равностороннем треугольнике все углы равны по 60 градусов;
В равностороннем треугольнике точки пересечения медиан, биссектрис и высот,
а также центр вписанной и описанной окружностей, совпадают.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой
делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки,
пропорциональные соответствующим боковым сторонам.
Важнейшие свойства прямоугольного треугольника:
Теорема Пифагора: $$ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 , \; где \; a \; и \; b \; - \; катеты , \; а \; c \; - \; гипотенуза; $$ Медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине;
Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы и радиус равен ее половине;
Длина высоты, проведенной к гипотенузе вычисляется по формуле: $$ h = \sqrt { mn } , \; где \; m \; и \; n \; - \; длины \; отрезков, \; на \; которые \; высота \; делит \; гипотенузу; $$ Синусом угла называют отношение противолежащего катета к гипотенузе;
Косинусом угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе;
Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему ;
Котангенсом угла называют отношение прилежащего катета к противолежащему.
Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота,
проведенные к основанию, совпадают;
В равностороннем треугольнике все углы равны по 60 градусов;
В равностороннем треугольнике точки пересечения медиан, биссектрис и высот,
а также центр вписанной и описанной окружностей, совпадают.
Похожие публикации: