Основные свойства определителей

Перечислим основные свойства определителей.

1. Определитель не меняется при транспонировании (замена всех строк определителя на столбцы с теми же номерами). Это свойство устанавливает равноправность строк и столбцов матрицы.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный.

3. Умножение всех элементов какого-либо столбца (строки) определителя на одно и тоже число l равносильно умножению на l определителя.

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель равен нулю, если элементы его строк (столбцов) пропорциональны (в частности, равны).

6. Определитель, у которого каждый элемент некоторой строки (столбца) является суммой двух слагаемых, равен сумме двух определителей, у первого из которых в указанной строке (столбце) стоят первые слагаемые, а у второго - вторые слагаемые, остальные строки (столбцы) у всех определителей одинаковы.

7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число \(k\).

8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца).