Четырехугольники

Произвольный четырехугольник: $$S=\frac12d_1d_2\sin\phi, где \;d_1\; и\; d_2\; -\; диагонали,\; а\;\phi\; -\; угол\; между\; ними;$$ Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов;

Вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда,
когда сумма противоположных углов у него равна 180 градусов;

Параллелограмм

Противоположные стороны попарно параллельны и равны;

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов;

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам;

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон $$d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2);$$ $$S=ab\sin\alpha, где\; a\; и\; b \;-\; смежные\;стороны,\; а \; \alpha\;-\; угол\; между\; ними;$$ $$S=ah, \;где\; a\;-\; сторона,\; а\;h\; -\; высота,\; проведенная\; к \;этой\; стороне;$$ Прямоугольник

Диагонали прямоугольника равны;
$$S=ab;$$ Ромб

Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов;

Квадрат
$$S=a^2;$$ $$d=a\sqrt2\; - \; диагональ\; квадрата;$$ Трапеция

Сумма углов при боковой стороне равна 180 градусов;

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме;
$$S=\frac{a+b}{2}h=lh,\; где \;a,\;b \; -\; основания,\; l\;-\; средняя\; линия,\;h\;-\; высота;$$ В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда,
когда сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон;

Если в трапецию вписана окружность, то отрезки, соединяющие центр окружности
с вершинами одной боковой стороны, перпендикулярны между собой;

Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая;

Прямые, содержащие боковые стороны трапеции и прямая,
проходящая через середины оснований трапеции, пересекаются в одной точке.